Istilah faktorial mungkin pertama kali dimunculkan saat kita akan mempelajari materi mengenai prinsip permutasi dan kombinasi. Dalam matematika, faktorial didefinisikan sebagai berikut. Definisi Faktorial Faktorial dari bilangan asli $n$, dinotasikan $n!$ dibaca $n$ faktorial, adalah perkalian semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan $n$. Secara matematis, ditulis $\begin{aligned} n! & = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n-1 \times n \\ & = n \times n-1 \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \end{aligned}$ Ekspresi faktorial dalam notasi pi hasil kali adalah $n! = \displaystyle \prod_{k=1}^n k.$ Ekspresi faktorial dalam relasi rekurensi adalah $n! = \begin{cases} 1, &~\text{jika}~n = 0 \\ n-1! \times n, &~\text{jika}~n > 0 \end{cases}$ Selanjutnya, didefinisikan bahwa $0! = 1$ dan faktorial dari bilangan negatif tidak terdefinisi tidak memiliki arti. Perhatikan bahwa notasi faktorial menggunakan simbol berupa tanda seru exclamation mark. Konsep faktorial selanjutnya banyak diaplikasikan dalam bidang kombinatorika. Untuk itu, berikut disajikan soal dan pembahasan terkhusus mengenai faktorial yang diharapkan dapat menambah wawasan mengenai materi yang bersangkutan. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut Download PDF, 171 KB. Poem by Shane Dizzy Sukardy Sekaleng soda menemani saat hujan mulai reda. Kala itu sang pesepeda bagai seorang laskar berkuda, melukiskan jejak dengan hanya sedikit bersabda, mengingat besok adalah hari yang berwarna dan bernada. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Nilai dari $\dfrac{100! \times 2}{99!}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $50$ C. $150$ E. $ B. $100$ D. $200$ Pembahasan Gunakan prinsip faktorial. $\begin{aligned} \dfrac{100! \times 2}{99!} & = \dfrac{100 \times \cancel{99!} \times 2}{\cancel{99!}} \\ & = 100 \times 2 = 200 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{100! \times 2}{99!} = 200}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Hasil dari $\dfrac{11!-10!}{9!}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $50$ C. $80$ E. $200$ B. $75$ D. $100$ Pembahasan Dengan menggunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan, kita akan memperoleh $\begin{aligned} \dfrac{11!-10!}{9!} & = \dfrac{11 \cdot 10!-10!}{9!} \\ & = \dfrac{11-1 \cdot 10!}{9!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} \\ & = 10 \cdot 10 = 100. \end{aligned}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Hasil dari $\dfrac{15!-14!}{8!-7!}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ B. $15 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9$ C. $13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ D. $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 2$ E. $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ Pembahasan Gunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan. $$\begin{aligned} \dfrac{15!-14!}{8!-7!} & = \dfrac{15 \cdot 14!-14!}{8 \cdot 7!-7!} \\ & = \dfrac{15-1 \cdot 14!}{8-1 \cdot 7!} \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{14} \cdot 14!}{\cancel{7} \cdot 7!} \\ & = \dfrac{2 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}} \\ & = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 2 \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 4 Nilai dari $\dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div 16^{9!} \cdot 64^{8!} = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $8$ B. $1$ D. $4$ Pembahasan Perhatikan bahwa semua basis pada ekspresi di atas merupakan hasil perpangkatan dari $2$. Jadi, kita ubah semuanya menjadi berbasis $2$, lalu sederhanakan menggunakan sifat-sifat eksponen. $$\begin{aligned} \dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div 16^{9!} \cdot 64^{8!} & = \dfrac{2^5^{9!}}{2^3^{8!}} \div 2^4^{9!} \cdot 2^6^{8!} \\ & = 2^{5 \cdot 9! -3 \cdot 8!} \div 2^{4 \cdot 9! + 6 \cdot 8!} \\ & = 2^{5 \cdot 9!-3 \cdot 8!-4 \cdot 9!-6 \cdot 8!} \\ & = 2^{5-49!-3+68!} \\ & = 2^{\color{red}{1 \cdot 9!}-\color{blue}{9 \cdot 8!}} \\ & = 2^{\color{red}{9!}-\color{blue}{9!}} = 2^0 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div 16^{9!} \cdot 64^{8!} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 5 Hasil dari $\dfrac{n-1!}{n!} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{n}$ D. $n-1$ B. $n^2-n$ E. $n$ C. $n-2$ Pembahasan Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{n-1!}{n!} & = \dfrac{\cancel{n-1!}}{n \cdot \cancel{n-1!}} \\ & = \dfrac{1}{n} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{n-1!}{n!} = \dfrac{1}{n}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 6 Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $n+3! = 10n+2!$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $8$ E. $11$ B. $7$ D. $9$ Pembahasan Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh $\begin{aligned} n+3! & = 10n+2! \\ n+3 \times \cancel{n+2!} & = 10\cancel{n+2!} \\ n+3 & = 10 \\ n & = 7 \end{aligned}$ Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{7}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Jika $\dfrac{n!}{n-2!} = 20$, maka nilai dari $n^2+5n-3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $42$ E. $52$ B. $32$ D. $47$ Pembahasan Pertama, kita akan mencari nilai $n$ dengan menyelesaikan persamaan $\dfrac{n!}{n-2!} = 20$ menggunakan definisi faktorial. $\begin{aligned} \dfrac{n \times n-1 \times \cancel{n-2!}}{\cancel{n-2!}} & = 20 \\ nn-1 & = 20 \\ n^2-n-20 & = 0 \\ n-5n+4 & = 20 \end{aligned}$ Diperoleh $n = 5$ atau $n = -4$. Karena $n = -4$ mengakibatkan $n!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n = 5$. Jadi, nilai dari $\boxed{n^2+5n-3 = 5^2+55-3 = 47}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Jika $\dfrac{n+1!}{n-2!} = \dfrac{n!}{n-4!}$, maka pernyataan berikut yang tepat mengenai nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$ A. $n$ merupakan bilangan prima B. $n$ merupakan bilangan dua-digit C. $n$ merupakan bilangan genap D. $n$ merupakan bilangan kelipatan $3$ E. $n$ memiliki lebih dari $2$ faktor Pembahasan Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac{n+1!}{n-2!} & = \dfrac{n!}{n-4!} \\ \dfrac{n+1 \times \bcancel{n!}}{n-2 \times n-3 \times \cancel{n-4!}} & = \dfrac{\bcancel{n!}}{\cancel{n-4!}} \\ \dfrac{n+1}{n-2n-3} & = 1 \\ n+1 & = n-2n-3 \\ n+1 & = n^2-5n+6 \\ n^2-6n+5 & = 0 \\ n-5n-1 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $n=5$ atau $n=1$. Karena $n=1$ mengakibatkan ekspresi $n-2!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n = 5$. Pernyataan yang benar adalah $n=5$ merupakan bilangan prima. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Bentuk sederhana dari $\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} + \dfrac{4}{5!} + \cdots + \dfrac{99}{100!}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1-\dfrac{1}{100!}$ D. $1+\dfrac{1}{50!}$ B. $1+\dfrac{1}{100!}$ E. $1-\dfrac{1}{99!}$ C. $1-\dfrac{1}{50!}$ Pembahasan Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \dfrac{k}{k+1!} & = \dfrac{k+1}{k+1!}-\dfrac{1}{k+1!} \\ & = \dfrac{\cancel{k+1}}{\cancel{k+1} \times k!} -\dfrac{1}{k+1!} \\ & = \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{k+1!} \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} + \dfrac{4}{5!} + \cdots + \dfrac{99}{100!} \\ & = \left\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right + \left\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right+\cdots+\left\cancel{\dfrac{1}{99!}}-\dfrac{1}{100!}\right \\ & = 1-\dfrac{1}{100!} \end{aligned}$$Catatan Prinsip pencoretan kanselasi sehingga suku-sukunya saling menghilangkan seperti di atas dikenal dengan istilah Prinsip Teleskopik. Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{1-\dfrac{1}{100!}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 10 Misalkan $N = 1!^3 + 2!^3 + 3!^3$ $+ \cdots + 2018!^3$. Jika tiga digit terakhir dari $N$ adalah $\overline{abc}$, maka nilai $a+b+c=\cdots \cdot$ A. $9$ C. $11$ E. $13$ B. $10$ D. $12$ Pembahasan Tiga digit terakhir dari $N$ sama dengan tiga digit terakhir dari $Q = 1!^3+2!^3+3!^3+4!^3.$ Ini terjadi karena untuk $m > 4$, berlaku $10~~m!$, artinya $m!$ habis dibagi $10$. Akibatnya, $1000~~m!^3$. Dengan kata lain, tiga digit terakhir dari $5!^3, 6!^3$, dan seterusnya adalah $000$. Sekarang, perhatikan bahwa $\begin{aligned} Q & = 1!^3+2!^3+3!^3+4!^3 \\ & = 1^3 + 2^3 + 6^3 + 24^3 \\ & = 1 + 8 + 216 + = 14.\color{red}{049} \end{aligned}$ Jadi, tiga digit terakhir dari $N$ adalah $\overline{abc} = 049$ sehingga $\boxed{a+b+c=0+4+9=13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 11 Sisa pembagian $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3!$ $+ \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100!$ oleh $101$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $21$ E. $100$ B. $11$ D. $99$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} x & = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100! \\ y & = 2 \cdot 1! + 3 \cdot 2! + 4 \cdot 3! + \cdots + 100 \cdot 99! + 101 \cdot 100! \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh $$\begin{aligned} \color{red}{y}-x & = 2-1 \cdot 1! + 3-2 \cdot 2! + 4-3 \cdot 3! + \cdots + 100-99 \cdot 99! + 101-100 \cdot 100! \\ & = 1 \cdot 1! + 1 \cdot 2! + 1 \cdot 3! + \cdots + 1 \cdot 99! + 1 \cdot 100! \\ & = 1! + 2! + 3! + \cdots + 99! + 100! \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y$ juga dapat ditulis dalam ekspresi lain, yaitu $y = 2! + 3! + 4! + \cdots + 100! + 101!$ Sekarang, substitusi ekspresi $y$ ini ke persamaan sebelumnya mengganti nilai $y$ yang diberi warna merah di atas. $$\begin{aligned} \color{red}{y}-x & = 1!+2!+3!+\cdots+99!+100! \\ 2! + 3! + 4! + \cdots + 100!+101!-x & = 1!+2!+3!+\cdots+99!+100! \\ x & = \cancel{2!+3!+4!+\cdots+100!}+101!-1!+\cancel{2!+3!+\cdots+99!+100!} \\ x & = 101!-1 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $101!$ jelas habis dibagi $101$ karena memuat faktor $101$. Ketika dikurangi $\color{blue}{1}$, maka sisa pembagiannya menjadi $101-\color{blue}{1} = 100$. Jadi, sisa pembagian $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3!$ $+ \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100!$ oleh $101$ adalah $\boxed{100}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Sisa hasil bagi $1^2 \cdot 2! + 2^2 \cdot 3! + 3^2 \cdot 4! + \cdots + \cdot oleh $ adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ D. $7$ B. $2$ E. $ C. $5$ Pembahasan Misalkan $$P = 1^2 \cdot 2! + 2^2 \cdot 3! + 3^2 \cdot 4! + \cdots + \cdot demikian, diperoleh $$\begin{aligned} P & = \displaystyle \sum_{k=1}^{ k^2k+1! \\ & = \sum_{k=1}^{ [k+2^2-4k+1]k+1! \\ & = \sum_{k=1}^{ k+2^2k+1!-\sum_{k=1}^{ 4k+1k+1! \\ & = \sum_{k=1}^{ k+2k+2!-4\sum_{k=1}^{ k+1k+1! \\ & = \sum_{k=3}^{ k \cdot k!-4\sum_{k=2}^{ k \cdot k! \\ & = \left\sum_{k=1}^{ k \cdot k!-1 \cdot 1!-2\cdot2!\right -4\left\sum_{k=1}^{ k \cdot k!-1\cdot 1!\right. \end{aligned}$$Dengan menggunakan fakta bahwa $\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot k! = n+1!-1$ dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi, didapat $$\begin{aligned} P & = \\ & = \cdot + 2. \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, dapat dengan mudah diketahui bahwa sisa hasil bagi $P$ oleh $ adalah $\boxed{2}.$ Hal ini terjadi karena $ dan $4 \cdot keduanya memuat faktor $ sehingga $ membagi keduanya. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Jika $\dfrac{120!+1!-5!!!}{120!-1!} = \left[a!!\right]^b$, maka nilai dari $a-b! = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $6$ B. $2$ D. $5$ Pembahasan Gunakan sifat faktorial berikut. $\boxed{n! = nn-1!}$ Perhatikan bahwa $5! = 120$. Kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{120!+1!-120!!}{120!-1!} & = \left[a!!\right]^b \\ \dfrac{120!+1120!\cancel{120!-1!}-120!\cancel{120!-1!}}{\cancel{120!-1!}} & = \left[a!!\right]^b \\ 120!+1!120!-120! & = \left[a!!\right]^b \\ 120!120! + 1-1 & = \left[a!!\right]^b \\ 120!120! & = \left[a!!\right]^b \\ 120!^2 = 5!!^2 & = \left[a!!\right]^b \end{aligned}$$Diperoleh $a = 5$ dan $b = 2$ sehingga $\boxed{a-b! = 5-2! = 3! = 6}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 14 Diketahui $P = 10 \cdot 9!^{\frac12}$, $Q = 9 \cdot 10!^{\frac12}$, dan $R = 11!^{\frac12}$ dengan $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n-1n$. Urutan yang benar dari ketiga bilangan di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $R R^2 > P^2$, mengimplikasikan bahwa $\boxed{P b$. Misalkan $\begin{aligned}N & = \dfrac{a!}{b!} \\ & = aa-1a-2\cdotsb+1. \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $N$ merupakan hasil kali dari $a-b+1+1 = a-b$ bilangan asli berurutan. Andaikan kita pilih $a = 5$ dan $b = 2$, diperoleh $N = \dfrac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3.$ Bilangan ini merupakan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$. Jadi, $3$ adalah salah satu nilai $a-b$ yang mungkin. Sekarang, jika $a-b = 4$, maka itu artinya $N$ merupakan hasil kali dari $4$ bilangan asli berurutan, sebut saja $pp+1p+2p+3$. Jika $p$ ganjil, maka $p+1$ dan $p+3$ kelipatan $2$ dan salah satunya pasti merupakan kelipatan $4$ sehingga $N$ habis dibagi $8.$ Jika $p$ genap, maka $p$ dan $p+2$ kelipatan $2$ dan salah satunya pasti merupakan kelipatan $4$ sehingga $N$ habis dibagi $8$. Dengan demikian, dapat ditarik suatu proposisi bahwa perkalian empat bilangan asli berurutan habis dibagi $8.$ Akibatnya, nilai $a-b$ terbesar agar $\dfrac{a!}{b!}$ merupakan bilangan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$, adalah $\boxed{3}$ [collapse] Soal Nomor 11 Terdapat $a_2, a_3, a_4$, $a_5, a_6$, dan $a_7$ yang memenuhi $\dfrac57 = \dfrac{a_2}{2!} + \dfrac{a_3}{3!}$ $+ \dfrac{a_4}{4!} + \dfrac{a_5}{5!} + \dfrac{a_6}{6!}$ $+ \dfrac{a_7}{7!},$ untuk $0 \leq a_i n$ sehingga nilai $k$ terkecil adalah $n+1.$ Dengan demikian, $n-4$ bilangan bulat berurutan itu dimulai dari bilangan $1+5=6$, yaitu $6 \times 7 \times 8 \times \cdots \times n+1 = n!.$ Bila kita selesaikan persamaan tersebut mencari nilai $n$, kita akan memperoleh $\begin{aligned} \dfrac{n+1!}{5!} & = n! \\ \dfrac{n+1 \times n!}{5!} & = n! \\ n+1 & = 5! \\ n & = 5!-1 = 119. \end{aligned}$ Jadi, nilai $n$ terbesar adalah $119$ dan perhatikan bahwa memang $119!$ bisa ditulis menjadi $6 \times 7 \times 8 \times \cdots \times 120$ hasil kali $115$ bilangan bulat positif berurutan. [collapse] Soal Nomor 18 Tentukan banyak tripel bilangan bulat $a, b, c$ yang memenuhi $a! + b! = c!$. Pembahasan Nilai $a, b, c$ pada persamaan $a! +b! =c!$ dipenuhi oleh $0,0,2, 1,0,2, 0,1,2$, dan $1,1,2.$ Misalkan $c$ adalah bilangan bulat positif yang lebih dari dua, sebutlah $n$ dengan $n > 2.$ Sekarang, ambil $a = b = n -1$, yang merupakan pasangan bilangan terbesar agar bila dijumlahkan dapat mencapai nilai di ruas kanan. Jadi, dapat ditulis $\begin{aligned} & n-1! + n-1! = n! \\ & 2n-1! < nn-1! = n!. \end{aligned}$ Jadi, tidak ada nilai $c$ yang dipenuhi oleh $a$ dan $b$ sehingga persamaan itu benar. Dengan demikian, hanya ada $4$ pasangan bilangan $a, b, c$ yang memenuhi persamaan $a! + b! = c!$. [collapse] Soal Nomor 19 Tentukan hasil dari $$\dfrac{2+3^2}{1!+2!+3!+4!}+\dfrac{3+4^2}{2!+3!+4!+5!}+\cdots + \dfrac{2013+2014^2}{ Pembahasan Pertama, nyatakan penjumlahan tersebut dalam notasi sigma, lalu kita sederhanakan dan terapkan prinsip teleskopik. Bentuk di atas setara dengan ekspresi berikut. $$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{ \dfrac{n+1+n+2^2}{n!+n+1!+n+2!+n+3!} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{n^2+5n+5}{n!1 + n+1 + n+1n+2 + n+1n+2n+3} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{n^2+5n+5}{n!n^3+7n^2+15n+10} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{\cancel{n^2+5n+5}}{n!\cancel{n^2+5n+5}n+2} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{1}{n!n+2} \times \color{red}{\dfrac{n+1}{n+1}} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{n+1}{n+2!} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{n+2-1}{n+2!} \\ & = \sum_{n=1}^{ \dfrac{1}{n+1!}-\dfrac{1}{n+2!} \\ & = \left\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}\right+\left\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}\right+\cdots+\left\dfrac{1}{ \\ & = \dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{ \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perhitungannya adalah $\boxed{\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{ [collapse]